Croissances comparées
De même on se souvient que l'exponentielle l'emporte sur la puissance, on a une règle similaire avec le logarithme mais cette fois ci, c'est la puissance qui l'emporte sur le logarithme.
Fondamental :
\(\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{\ln x}{x}=0\)
Complément : Démonstration
Posons \(X=\ln x\). On a alors \(x=e^X\) et donc \(\frac{\ln x}{x}=\dfrac{X}{e^X}\)
Or quand x tend vers \(+\infty\), X tend vers \(+\infty\) également.
Donc \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{\ln x}{x}=\lim\limits_{X\to +\infty}\frac{X}{e^X}=0\) d'après les résultats que l'on connaît sur l'exponentielle.
Fondamental :
\(\lim\limits_{x\to 0}~x \ln x=0\)
Complément : Démonstration
Posons \(X=\ln x\). On a alors \(x=e^X\) et donc \(x \ln x=e^X X\).
Or quand x tend vers \(0\), X tend vers \(-\infty\).
Donc \(\lim\limits_{x\to 0}x \ln x=\lim\limits_{X\to -\infty}X e^X=0\) d'après les résultats que l'on connaît sur l'exponentielle.