Calcul d'une dérivée avec ln
Question
Dériver la fonction suivante sur l'intervalle \(]0 ;+\infty[\) :
\(f :x\longmapsto f(x)=\dfrac{\ln x}{x}\)
Indice
La fonction se présente comme un quotient \(\dfrac{u}{v}\) de deux fonctions.
Solution
\(u(x)=\ln x\) donc \(u'(x)=\dfrac{1}{x}\)
\(v(x)=x\) donc \(v'(x)=1\)
On applique la formule \(f'(x)=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\)
\(f'(x)=\dfrac{\dfrac{1}{x}\times x - \ln x \times 1}{x^2}\) donc en simplifiant :
\(f'(x)=\dfrac{1-\ln x}{x^2}\)