Résoudre une inéquation - une équation
Question
Résoudre l'inéquation \(\ln(x^2+4)\geq \ln 13\).
Indice
Rechercher d'éventuelles valeurs interdites.
Utiliser les variations de la fonction \(\ln\).
Solution
On peut déjà remarquer que pour tout \(x\) réel, \(x^2+4\) est toujours positif. il n'y a donc pas de valeurs interdites.
La fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0 ;+\infty[\) donc elle conserve les inégalités. Comme dans le cas des exponentielles, on peut donc réécrire l'inéquation en se débarrassant des logarithmes de part et d'autre de l'inégalité.
L'inéquation devient\( x^2+4\geq 13\) soit \(x^2-9\geq 0\).
Il s'agit ici d'étudier le signe de ce polynôme du second degré qui a manifestement deux racines : 3 et -3. Il est du signe de son coefficient \(a\) (+1) donc positif à l'extérieur des racines.
Par conséquent, l'ensemble des solutions est donc :
\(S=]-\infty ;-3[\cup ]3 ;+\infty[\)
Question
Résoudre l'équation \(\ln(x^2+x-6)=\ln(x-5)\).
Indice
Ne pas oublier de regarder l'ensemble de définition des deux membres !
Solution
Ensemble de définition
\(\ln(x^2+x-6)\) est défini si et seulement si \(x^2+x-6>0\).
Résolvons cette inéquation qui revient à chercher le signe du trinôme : \(\Delta=25\)
Les racines sont donc \(x_1=-3\) et \(x_2=2\). Ce trinôme est donc positif à l'extérieur des racines.
Le membre de gauche de l'équation est défini pour \(x\in]-\infty ; -3[\cup ]2 ; +\infty[\).
\(\ln(x-5)\) est défini si et seulement si \(x-5>0\) donc si \(x\in]5 ; +\infty[\).
Globalement, l'équation n'a de sens que si \(x\in ]5 ; +\infty[\).
Méthode : Résolution de l'équation
On se place sur l'intervalle \(]5 ; +\infty[\). Sur cet intervalle, les fonctions logarithmes des deux membres sont définies.
La fonction Logarithme étant strictement croissante sur \(\mathbb R^+\), on peut dire que pour résoudre l'équation \(\ln(x^2+x-6)=\ln(x-2)\) nous devons d'abord résoudre l'équation \(x^2+x-6=x-2\).
\(x^2+x-6=x-5 \Longleftrightarrow x^2=1\). Cette équation admet deux solutions : \(x=-1\) ou \(x=1\).
Or on se rappelle que l'équation n'a de sens que si \(x\in ]5 ; +\infty[\).
Conclusion : l'équation n'admet pas de solution.