Continuité et dérivabilité

FondamentalContinuité et dérivabilité de la fonction logarithme népérien (admis)

La fonction logarithme népérien est continue et dérivable sur \(]0 ;+\infty[\).

Complément

On conçoit en effet que la fonction exponentielle étant continue, la fonction logarithme dont la courbe se déduit par symétrie ne pose pas de soucis de continuité également.

Il n'y a pas de soucis de dérivabilité non plus car la courbe de la fonction exponentielle n'admet pas de tangente horizontale ni de "cassure", et donc par symétrie celle du logarithme n'a pas par conséquent de tangente verticale ni de cassure non plus.

FondamentalDérivée de la fonction logarithme

La dérivée de la fonction logarithme népérien sur \(]0 ;+\infty[\) est la fonction inverse :

Si \(f(x)=\ln (x)\), alors \(f'(x)=\dfrac{1}{x}\)

ComplémentDémonstration

Posons \(f(x)=e^{\ln x}\) pour tout \(x\in ]0 ;+\infty[\)

On sait d'après la dérivée de l'exponentielle d'une fonction que \(f'(x) =\ln '(x) e^{\ln x}\)

Comme \(e^{\ln x}=x\), \(f'(x)=\ln '(x) x\).

Mais on peut aussi dire directement que \(f(x)=x\) donc \(f'(x)=1\).

Par conséquent, \(f'(x)=\ln '(x)~ x=1\) donc \(\ln'(x)=\dfrac{1}{x}\).

FondamentalDérivée de la fonction Ln(u(x))

Si une fonction \(u\) est dérivable et strictement positive sur un intervalle \(I\).

Alors la fonction \(x\longmapsto \ln u(x)\) est dérivable sur \(I\) et on a :

\(\left(\ln u\right)'(x)=\dfrac{u'(x)}{u(x)}\)