Conjugué d'un complexe
Définition : Complexe conjugué
On voit apparaître dans le calcul de l'inverse une astuce de calcul consistant à multiplier par \(a-ib\).
Le complexe \(a-ib\) est appelé conjugué de \(z=a+ib\) et est noté \(\overline z\).
Exemple :
Le conjugué de \(z=2-i\) est \(\overline {2-i}=2+i\).
L'inverse de \(z=2-i\) est \(\dfrac{1}{2-i}=\dfrac{2+i}{5}\).
L'inverse de \(i\) est \(\dfrac{1}{i}=-i\).
Le conjugué de \(i\) est \(\overline i=-i\).
Le conjugué d'un complexe permet de caractériser les nombres réels et les nombres imaginaires purs (ceux dont la partie réelle est nulle) parmi les complexes :
Soit z un nombre complexe.
\(z\in \mathbb R \Leftrightarrow z=\overline z\)
\(z\) imaginaire pur \(\Leftrightarrow \overline z=- z\)
si \(z=a+ib,~~ z\overline z=a^2+b^2\)
Fondamental : Propriétés du conjugué
Soient \(z,z'\in \mathbb C\), alors :
\(\overline {~\overline z~}=z\)
\(\overline{z+z'}=\overline z + \overline{ z'}\)
\(\overline{z\times z'}=\overline z \times \overline {z'}\)
\(\forall n\in \mathbb N, \overline{z^n} = \bar z ^n\)
\(\overline{\left(~\dfrac{z}{z'}~\right)}=\dfrac{\overline z}{\overline {z'}}\)
Complément :
Les démonstrations des 3 dernières propriétés sont au programme.