Problème
Soient \(u\) et \(v\) deux nombres complexes distincts et tels que \(u\bar u = v \bar v\).
Question
Démontrer que \(z=\dfrac{u+v}{u-v}\) est imaginaire pur.
Indice
On pourra montrer que \(\overline z=-z\).
Indice
On pourra multiplier \(\bar z\) par \(uv\)
Solution
\(\overline {\left(\dfrac{u+v}{u-v}\right)}=\dfrac{\overline u+\overline v}{\overline u-\overline v }\)
Multiplions le numérateur et le dénominateur par \(uv\). On obtient alors :
\(\overline{\left(\dfrac{u+v}{u-v}\right)}=\dfrac{\overline u uv+uv\overline v}{\overline uuv-uv\overline v}\)
Or on sait que \(u\overline u=v\overline v=r^2\) donc :
\(\overline{\left(\dfrac{u+v}{u-v}\right)}=\dfrac{r^2v+ur^2}{r^2v-ur^2}\) et en simplifiant par r^2,
\(\overline{\left(\dfrac{u+v}{u-v}\right)}=-\dfrac{u+v}{u-v}\)
Donc \(\overline z=-z\) ce qui prouve que \(z\) est imaginaire pur.