Calculer avec les complexes

Question

Résoudre dans \(\mathbb C\) l'équation \((E_1) : 3z+1-i=7+3i\)

Solution

\((E_1)\Longleftrightarrow 3z=7+3i-(1-i)\)

\((E_1)\Longleftrightarrow 3z=6+4i\)

\((E_1)\Longleftrightarrow z=2+\dfrac{4}{3}i\)

L'équation admet donc comme unique solution \(z=2+\dfrac{4}{3}i\).

Question

Résoudre dans \(\mathbb C\) l'équation \((E_2) : 2z+i~\overline z=5-2i\)

Indice

On pourra poser \(z=x+iy\)

Solution

Soit \(z=x+iy\) la forme algébrique d'une solution de l'équation.

\((E_2)\Longleftrightarrow 2x+2iy+i(x-iy)=5-2i\)

\((E_2)\Longleftrightarrow 2x+2iy+ix+y=5-2i\)

\((E_2)\Longleftrightarrow 2x+y+i(2y+x)=5-2i\)

L'unicité de l'écriture algébrique d'un complexe permet d'écrire le système d'équations suivant, par identification des parties réelles et imaginaires :

\((E_2)\Longleftrightarrow \left \{\begin{array}{c @{} c}2x+y=5 \\2y+x=-2  \\\end{array}\right.\)

Remplaçons la première équation par la première moins deux fois la seconde :

\((E_2)\Longleftrightarrow \left \{\begin{array}{c @{} c}-3y = 9 \\2y+x = -2 \\\end{array}\right.\)

\((E_2)\Longleftrightarrow \left \{\begin{array}{c @{} c}y = -3 \\-6+x = -2 \\\end{array}\right.\)

\((E_2)\Longleftrightarrow \left \{\begin{array}{c @{} c}y = -3 \\x = 4 \\\end{array}\right.\)

Donc l'équation admet une solution unique  \(z=4-3i\).

Question

On considère le nombre complexe \(z=a+2i\) avec \(a\in \mathbb R\)

Déterminer \(a\)pour que \(z^2\) soit imaginaire pur.

Solution

\((a+2i)^2=a^2+4ai+4i^2=(a^2-4)+4ai\)

\(z^2\) est imaginaire pur si et seulement si \(a^2-4=0\). Cette équation du second degré a trivialement deux solutions : \(a=2\) et \(a=-2\).

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