Formule du binôme

Fondamental

\((a+b)^n = \binom n 0 a^n + \binom n 1 a^{n-1}b^1 + \binom n 2 a^{n-2}b^2+\cdots + \binom n {n-1} a^1b^{n-1} + \binom n n b^n\)

RappelTriangle de pascal

Le coefficients binomiaux peuvent s'obtenir à l'aide du triangle de pascal

1

1

1

1

2

1

1

3

3

1

1

4

6

4

1

Démonstration au programme

Pour démontrer la formule du binôme, on procède par récurrence

Initialisation

Pour \(n=0\) la formule se vérifie facilement sachant que \(\binom n 0 = \binom n n = 1\)

Hérédité

On suppose que pour un certain rang \(k\) la propriété à démontrer est vraie :

\((a+b)^k = \binom k 0 a^k + \binom k 1 a^{k-1}b^1 + \binom k 2 a^{k-2}b^2+\cdots + \binom k {k-1} a^1b^{k-1} + \binom k k b^k\)

Calculons \((a+b)^{k+1} = (a+b)(a+b)^k\)

\((a+b)^{k+1} = (a+b)\left(\binom k 0 a^k + \binom k 1 a^{k-1}b^1 + \binom k 2 a^{k-2}b^2+\cdots + \binom k {k-1} a^1b^{k-1} + \binom k k b^k \right)\)

\((a+b)^{k+1} =\)

\(\ \ \ \ \ \binom k 0 a^{k+1} + \binom k 1 a^{k}b^1 + \binom k 2 a^{k-1}b^2+\cdots + \binom k {k-1} a^2b^{k-1} + \binom k k ab^k\)

\(\ \ \ \ \ + \binom k 0 a^kb + \binom k 1 a^{k-1}b^2 + \binom k 2 a^{k-2}b^3+\cdots + \binom k {k-1} a^1b^{k} + \binom k k b^{k+1}\)

\((a+b)^{k+1} =\)

\(\ \ \ \ \ \binom k 0 a^{k+1}\)

\(\ \ \ \ \ + \left[ \binom k 1 + \binom k 0 \right]a^kb\)

\(\ \ \ \ \ + \left[ \binom k 2 + \binom k 1 \right]a^{k-1}b^2\)

\(\ \ \ \ \ + \left[ \binom k k + \binom k {k-1} \right]ab^k\)

\(\ \ \ \ \ \binom k k b^{k+1}\)

et puisque\( \binom k 0 = \binom k k = 1\), on peut réécrire

\((a+b)^{k+1} =\)

\(\ \ \ \ \ a^{k+1}\)

\(\ \ \ \ \ + \left[ \binom k 1 + \binom k 0 \right]a^kb\)

\(\ \ \ \ \ + \left[ \binom k 2 + \binom k 1 \right]a^{k-1}b^2\)

\(\ \ \ \ \ + \left[ \binom k k + \binom k {k-1} \right]ab^k\)

\(\ \ \ \ \ b^{k+1}\)

Or d'après la formule du triangle de Pascal, on peut simplifier chacun des crochets contenant une somme de 2 coefficients binomiaux comme par exemple

\(\left[ \binom k 2 + \binom k 1 \right] = \binom {k+1} 2\)

Cela donne au final

\((a+b)^{k+1} =\)

\(\ \ \ \ \ a^{k+1}\)

\(\ \ \ \ \ + \binom {k+1} 1a^kb\)

\(\ \ \ \ \ + \binom {k+1} 2 + a^{k-1}b^2\)

\(\ \ \ \ \ + \binom {k+1} k ab^k\)

\(\ \ \ \ \ b^{k+1}\)

Pour conclure sur l'hérédité il nous reste plus qu'à remarquer que \( \binom {k+1} 0 = \binom {k+1} {k+1} = 1\). On retombe alors sur la formule au rang k+1.

Conclusion

La propriété est initialisée au rang \(n=0\), et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier naturel \(n\).