Formule du binôme
Fondamental :
\((a+b)^n = \binom n 0 a^n + \binom n 1 a^{n-1}b^1 + \binom n 2 a^{n-2}b^2+\cdots + \binom n {n-1} a^1b^{n-1} + \binom n n b^n\)
Rappel : Triangle de pascal
Le coefficients binomiaux peuvent s'obtenir à l'aide du triangle de pascal
1 | ||||
1 | 1 | |||
1 | 2 | 1 | ||
1 | 3 | 3 | 1 | |
1 | 4 | 6 | 4 | 1 |
Démonstration au programme
Pour démontrer la formule du binôme, on procède par récurrence
Initialisation
Pour \(n=0\) la formule se vérifie facilement sachant que \(\binom n 0 = \binom n n = 1\)
Hérédité
On suppose que pour un certain rang \(k\) la propriété à démontrer est vraie :
\((a+b)^k = \binom k 0 a^k + \binom k 1 a^{k-1}b^1 + \binom k 2 a^{k-2}b^2+\cdots + \binom k {k-1} a^1b^{k-1} + \binom k k b^k\)
Calculons \((a+b)^{k+1} = (a+b)(a+b)^k\)
\((a+b)^{k+1} = (a+b)\left(\binom k 0 a^k + \binom k 1 a^{k-1}b^1 + \binom k 2 a^{k-2}b^2+\cdots + \binom k {k-1} a^1b^{k-1} + \binom k k b^k \right)\)
\((a+b)^{k+1} =\)
\(\ \ \ \ \ \binom k 0 a^{k+1} + \binom k 1 a^{k}b^1 + \binom k 2 a^{k-1}b^2+\cdots + \binom k {k-1} a^2b^{k-1} + \binom k k ab^k\)
\(\ \ \ \ \ + \binom k 0 a^kb + \binom k 1 a^{k-1}b^2 + \binom k 2 a^{k-2}b^3+\cdots + \binom k {k-1} a^1b^{k} + \binom k k b^{k+1}\)
\((a+b)^{k+1} =\)
\(\ \ \ \ \ \binom k 0 a^{k+1}\)
\(\ \ \ \ \ + \left[ \binom k 1 + \binom k 0 \right]a^kb\)
\(\ \ \ \ \ + \left[ \binom k 2 + \binom k 1 \right]a^{k-1}b^2\)
\(\ \ \ \ \ + \left[ \binom k k + \binom k {k-1} \right]ab^k\)
\(\ \ \ \ \ \binom k k b^{k+1}\)
et puisque\( \binom k 0 = \binom k k = 1\), on peut réécrire
\((a+b)^{k+1} =\)
\(\ \ \ \ \ a^{k+1}\)
\(\ \ \ \ \ + \left[ \binom k 1 + \binom k 0 \right]a^kb\)
\(\ \ \ \ \ + \left[ \binom k 2 + \binom k 1 \right]a^{k-1}b^2\)
\(\ \ \ \ \ + \left[ \binom k k + \binom k {k-1} \right]ab^k\)
\(\ \ \ \ \ b^{k+1}\)
Or d'après la formule du triangle de Pascal, on peut simplifier chacun des crochets contenant une somme de 2 coefficients binomiaux comme par exemple
\(\left[ \binom k 2 + \binom k 1 \right] = \binom {k+1} 2\)
Cela donne au final
\((a+b)^{k+1} =\)
\(\ \ \ \ \ a^{k+1}\)
\(\ \ \ \ \ + \binom {k+1} 1a^kb\)
\(\ \ \ \ \ + \binom {k+1} 2 + a^{k-1}b^2\)
\(\ \ \ \ \ + \binom {k+1} k ab^k\)
\(\ \ \ \ \ b^{k+1}\)
Pour conclure sur l'hérédité il nous reste plus qu'à remarquer que \( \binom {k+1} 0 = \binom {k+1} {k+1} = 1\). On retombe alors sur la formule au rang k+1.
Conclusion
La propriété est initialisée au rang \(n=0\), et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier naturel \(n\).