Introduction
Considérons l'ensemble des entiers naturels \(\mathbb N\) : L'équation \(x+3=4\) possède une solution unique (\(x=1\)) dans \(\mathbb N\). Par contre une équation si simple que l'équation \(x+4=3\) ne possède pas de solutions dans \(\mathbb N\).
Les mathématiciens ont donc inventé les nombres négatifs et construit l'ensemble \(\mathbb Z\) des entiers relatifs pour pallier à cette difficulté. L'équation \(x+4=3\) admet \(x=-1\) comme solution. Les nombres négatifs sont nés.
Néanmoins, une équation aussi simple que \(2x-3=0\) ne possède pas de solution dans \(\mathbb Z\). Il faut donc inventer de nouveaux nombres, pour décrire les solutions de ce type d'équations très simples. Dans \(\mathbb Q\), l'équation \(2x-3=0\) admet comme solution \(x=\frac{3}{2}\). Les nombres rationnels sont nés.
Même si les nombres rationnels permettent de décrire bon nombre de situations de la vie quotidienne, ils se trouvent vite limités. Un exemple tout simple permet d'en venir à bout : trouver la longueur de la diagonale d'un carré de coté 1 ! Le théorème de Pythagore nous permet d'énoncer cette problématique au moyen de l'équation simple \(x^2=2\).
On peut démontrer par un raisonnement par l'absurde que cette équation n'admet pas de solutions rationnelles : En effet, si une telle solution existait, on pourrait l'écrire \(x=\frac{p}{q}\), p et q étant entiers et la fraction irréductible. Or \(\frac{p^2}{q^2}=2\) donc \(p^2=2q^2\) ce qui montre que \(p^2\) est divisible par 2. Comme \(p^2\) est un carré, il est divisible par \(2^2\) donc p est pair. Mais alors \(q^2=\frac{p^2}{2}\) est également pair puisque \(p^2\) est divisible par 4. Donc \(q^2\) est pair également. Donc q est pair.
Mais le fait que p et q soient pair est en contradiction avec le fait que la fraction \(\frac{p}{q}\) est irréductible ! donc l'équation \(x^2=2\) n'a pas de solutions rationnelles.
On construit donc les nombres réels \(\mathbb R\) qui contient en particulier ce nouveau nombre \(\sqrt 2\) que nous venons de créer.
En a t-on pour autant fini avec la découverte des nombres ? \(\mathbb R\) contient les nombres entiers, les négatifs, les rationnels, les irrationnels, des nombres bien mystérieux comme \(\pi\) ou e. Néanmoins, des équations très simples comme \(x^2+1=0\) n'ont toujours pas de solutions dans cet ensemble des nombres réels qu'on croit si complet. Nous allons donc dans ce chapitre résoudre cette équation en inventant un nouveau nombre imaginaire et construire ainsi un nouvel ensemble de nombres : l'ensemble des nombres complexes :\(\mathbb C\).