Démontrons que \(\overline{z\times z'} = \bar z \times \bar {z'}\)
Question
Démontrer la formule.
Indice
On pourra poser \(z = a+ib\) et \(z'=a+ib'\)
Solution
\(\overline{z\times z'} = \overline{(a + ib) \times (a' + ib')}\)
\(\overline{z\times z'} = \overline{aa' + iab' + iba' + i^2bb'}\)
\(\overline{z\times z'} = \overline{aa' - bb' +i(ab'+ba')}\)
\(\overline{z\times z'} = aa' - bb' -i(ab'+ba')\)
\(\bar z \times \bar{z'} = \overline{(a+ib)}\times \overline{(a'+ib')}\)
\(\bar z \times \bar{z'} = (a-ib)\times (a'-ib')\)
\(\bar z \times \bar{z'} = aa' -iab' - iba'+i^2bb'\)
\(\bar z \times \bar{z'} = aa'-bb'-i(ab'+ba')\)
On constate au final que \(\overline{z\times z'} = \bar z \times \bar{z'}\)
Démontrons que \(\overline{z^n} = \bar z ^n\)
Question
Démontrer la formule.
Indice
On pourra raisonner par récurrence.
Solution
Méthode :
La formule à démontrer au rang \(n\) est\(\overline{z^n} = \bar z ^n\)
Initialisation
Pour \(n=1\) la formule est triviale.
Hérédité
Hypothèse de récurrence : On suppose que pour un certain rang \(k>1\) l'égalité \(\overline{z^k} = \bar z ^k\) est vraie.
Démontrons cette formule au rang suivant :
\(\overline{z^{k+1}\times z} = \overline{z^k\times z}\)
\(\overline{z^{k+1}\times z} = \overline{z^k}\times \overline{z}\) d'après la propriété précédente
\(\overline{z^{k+1}\times z} = {\bar z}^k \times \overline{z}\) par l'hypothèse de récurrence
\(\overline{z^{k+1}\times z} = {\bar z}^{k+1}\)
Conclusion
La propriété est vraie pour \(n = 1\) et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier naturel \(n\geqslant 1\).
Démontrons que \(\overline{\left(\dfrac 1 z \right)}=\dfrac 1 {\bar z}\)
Question
Démontrer la formule
Indice
On pourra poser \(z=a+ib\)
Solution
\(\overline{\left(\dfrac 1 z \right)}=\overline{\left(\dfrac 1 {a+ib} \right)}\)
\(\overline{\left(\dfrac 1 z \right)}=\overline{\left(\dfrac {a-ib} {(a+ib)(a-ib)} \right)}\)
\(\overline{\left(\dfrac 1 z \right)}=\overline{\left(\dfrac {a-ib} {a^2+b^2} \right)}\)
\(\overline{\left(\dfrac 1 z \right)}=\left(\dfrac {a+ib} {a^2+b^2} \right)\)
\(\dfrac 1 {\bar z} = \dfrac 1 {a-ib}\)
\(\dfrac 1 {\bar z} = \dfrac {a+ib} {(a-ib)(a+ib)}\)
\(\dfrac 1 {\bar z} = \dfrac {a+ib} {a^2+b ^2}\)
On a donc bien \(\overline{\left(\dfrac 1 z \right)}=\dfrac 1 {\bar z}\)