Inverse d'un nombre complexe
Fondamental :
Un complexe \(z=a+ib\) est nul si et seulement si \(a=0\) et \(b=0\).
Tout complexe \(z=a+ib\) non nul admet un inverse.
Celui-ci a pour écriture algébrique \(\dfrac{1}{z}=\dfrac{a-ib}{a^2+b^2}\)
Complément : Démonstration
Le premier point a déjà été vu.
Pour le second point, on a :\(\dfrac{1}{z}=\dfrac{1}{a+ib}\).
Une astuce assez courante consiste à multiplier numérateur et dénominateur par \(a-ib\) :
\(\dfrac{1}{z}=\dfrac{(a-ib)}{(a+ib)(a-ib)}\).
Or \((a+ib)(a-ib)=a^2-i^2b^2=a^2+b^2\) ce qui donne le résultat.
Remarque :
On voit au passage que grâce aux complexes, on peut à présent factoriser dans \(\mathbb C\) les formes \(a^2+b^2\) :
exemple : \(x^2+4=x^2+2^2=(x+2i)(x-2i)\) !
Ceci aura des conséquences sur la résolution des équations du second degré de discriminant négatif...