Forme algébrique d'un nombre complexe
Fondamental : Théorème (admis)
Il existe un ensemble de nombres, noté \(\mathbb C\), qui contient l'ensemble des nombres réels et qui vérifie les propriétés suivantes :
\(\mathbb C\) contient un nombre noté \(i\) vérifiant \(i^2=-1\),
tous les éléments \(z\in \mathbb C\) s'écrivent de manière unique sous la forme \(z=a+ib\) où a et b sont des nombres réels,
\(\mathbb C\) est muni de l'addition et de la multiplication qui possèdent les mêmes propriétés que l'ensemble des nombres réels.
Définition :
Cet ensemble \(\mathbb C\) est appelé l'ensemble des nombres complexes.
L'écriture de ses éléments \(z\) sous la forme \(z=a+ib\) est appelée l'écriture algébrique du nombre complexe \(z\).
Le nombre a s'appelle la partie réelle de \(z\)
Le nombre b s'appelle la partie imaginaire de \(z\)
On notera \(a=\mathop{\mathrm{Re}} z\) et \(b=\mathop{\mathrm{Im}} z\).
Exemple :
Le nombre complexe z=3-2i a pour partie réelle \(\mathop{\mathrm{Re}} z=3\) et pour partie imaginaire \(\mathop{\mathrm{Im}} z=-2\).
Attention :
La partie imaginaire d'un nombre complexe est donc un nombre bien réel ! !