Propriété fondamentale
Conjecture
En observant les résultats de l'activité de catégorisation précédente, on constate que les fonctions dont la dérivée est croissante coïncident avec les fonctions que l'on avait classées comme fonctions convexes. De même, les fonctions dont la dérivée est décroissante coïncident avec les fonctions que l'on avait classées comme fonctions concaves.
Ce constat se généralise grâce à la propriété suivante que nous admettrons :
Fondamental : Propriété (admise)
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I
\(f\) est convexe sur I si et seulement si \(f'\) est croissante sur I
\(f\) est concave sur I si et seulement si \(f'\) est décroissante sur I
Complément :
On remarquera le "si et seulement si" indiquant que cette propriété s'utilise dans le sens réciproque également, nous fournissant ainsi un critère efficace pour déterminer par le calcul si une fonction est convexe ou concave sur un certain intervalle, juste par l'étude des variations de sa dérivée.
Attention :
On prendra garde à ne pas confondre
l'étude des variations d'une fonction qui se fait par l'étude du signe de la dérivée
et
l'étude de la convexité d'une fonction qui se fait par l'étude des variations de la dérivée