Recherche d'un point d'inflexion

On considère la fonction définie sur \(\mathbb R\) par \(f :x\longmapsto x^3-6x^2+5x+10\)

Question

Tracer la courbe sur votre calculatrice et conjecturer graphiquement l'existence de points d'inflexions éventuels

Indice

Un tracé pour \(x\in[-1 ;5]\) devrait donner des informations pertinentes.

Solution

Sur la courbe ci-contre, on constate que la courbe est d'abord concave puis convexe. On devine donc l'existence d'un point d'inflexion qui sur le graphique semble se situer autour de \(x=2\)

Question

Étudier par le calcul la convexité de la fonction f.

Indice

On pourra s'intéresser au signe de la dérivée seconde.

Solution

On a \(f'(x)=3x^2-12x+5\) et \(f''(x)=6x-12\). la dérivée seconde est une fonction affine qui s'annule pour \(x=2\). Son signe est négatif avant \(x=2\) et positif après \(x=2\).

On en déduit le tableau suivant :

Question

Confirmer la conjecture faite à la première question

Solution

Le tableau ci-dessus montre que la dérivée seconde s'annule et change de signe en \(x=2\). Cela met en évidence un point d'inflexion au point d'abscisse 2 sur la courbe \(\mathcal Cf\) . Cela confirme la lecture faite sur la courbe.