Étude de la fonction cube.
Étude de la convexité d'une fonction particulière : la fonction \(f :x\longmapsto x^3\)
Question
La fonction \(f :x\longmapsto x^3\) est-elle convexe sur \(\mathbb R\) ?
Indice
On pourra s'intéresser aux variations de sa dérivée.
Indice
Attention de ne pas confondre variations de la dérivée et signe de la dérivée ! !
Solution
\(f'(x)=3x^2\). Cette fonction du second degré est très classique. Elle est décroissante sur \(]-\infty ;0]\) et croissante sur \([0 ;+\infty\)[. (On peut pour s'en convaincre aller jusqu'à l'étude du signe de la fonction linéaire \(x\longmapsto 6x\) qui rend bien sur les mêmes conclusions.)
Par conséquent, on ne peut rien affirmer de la fonction \(f\) sur \(\mathbb R\) tout entier.
Question
Sur quel intervalle la fonction f est-elle convexe ? concave ?
Solution
L'étude précédente nous montre que sur \(]-\infty ;0]\), la fonction est concave et que sur \([0 ;+\infty\)[, la fonction est convexe.