Représentation géométrique des nombres complexes

On note \(z=a+ib, ~z'=a'+ib', ~\arg z=\theta,~ \arg (z')=\theta'\) et \(\arg(zz')=\Theta\).

• \(zz'=aa'-bb'+i(ab'+a'b)\)

Donc on a \(\cos \Theta=\dfrac{aa'-bb'}{| zz' |}\) et \(\sin \Theta=\dfrac{ab'+a'b}{| zz' |}.\)

Mais on a aussi \(a=| z|\cos \theta\), \(b=| z|\sin \theta\), \(a'=| z'|\cos \theta'\), \(b'=| z'|\sin \theta'\).

Donc \(\cos\Theta=\dfrac{| z|\cos \theta | \times |z'|\cos \theta' - | z|\sin \theta \times|z'|\sin \theta'}{| zz'|}\).

Et puisque \(| zz'|=| z| | z'|\), on peut simplifier les modules pour avoir :

\(\cos \Theta=\cos\theta \cos\theta' - \sin\theta \sin \theta'\) donc \(\cos\Theta=\cos(\theta+\theta')\)

Et de la même façon, on a :

\(\sin\Theta=\sin(\theta+\theta')\)

On en déduit que \(\Theta=\theta+\theta'~(2\pi)\) (quand deux angles ont les mêmes sinus et cosinus, ils sont égaux modulo \(2\pi\)).

On peut donc écrire que \(\arg\left(\dfrac{z}{z'}\right)=\arg(z)-~~\arg(z')~(2\pi)\)

• \(\arg (z\overline z)=0~~~(2\pi)\) car \(z\overline z\) est réel d'où l'égalité.

• La propriété sur \(\arg(z^n)\) se démontre par récurrence en s'appuyant sur la propriété précédente.

• Pour le quotient, on applique la propriété du produit avec \(Z=\dfrac{z}{z'}\) et \(z'\) :

\(z=Z\times z'\) donc \(\arg(z)=\arg(Z)+\arg(z')~(2\pi)\) ce qui donne la formule désirée.