Définitions
Définition : Module et Argument
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormé \((0 ;\vec u ;\vec v)\), on considère un point \(M\) d'affixe \(z\) non nulle.
On appelle module de \(z\) et on note \(| z |\) la longueur \(OM\). On a \(| z| =OM\).
On appelle argument de \(z\) et on note \(\arg (z)\) toute mesure en radians de l'angle orienté de vecteurs \((\vec u ;\overrightarrow{OM})\).
Complément : Module d'un nombre complexe
Si \(z=a+ib,\) alors \(| z|=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{z\overline z}\).
Si \(z_A\) et \(z_B\) sont les affixes respectives de deux points A et B, alors \(z_B-z_A\) est l'affixe du vecteur \(\overrightarrow{AB}\) et \(| z_B-z_A|=AB\).
Complément : Argument d'un nombre complexe
Un nombre complexe a une infinité d'arguments, définis à \(2\pi\) près : Si \(\theta\) est l'un d'entre eux, les autres sont de la forme \(\theta+2k\pi\) où \(k\in\mathbb Z\). On dit que \(\arg (z)\) est défini modulo \(2\pi\) et on note \(\arg(z)=\theta~~~ (2\pi)\)
Exemple : Exemples
\(z\) | i | -i | 2 | -2 | 1+i |
|---|---|---|---|---|---|
\(| z|\) | 1 | 1 | 2 | 2 | \(\sqrt 2\) |
\(\arg(z)\) | \(\frac{\pi}{2}~~~(2\pi)\) | \(-\frac{\pi}{2}~~~(2\pi)\) | \(0~~~(2\pi)\) | \(\pi~~~(2\pi)\) | \(\frac{\pi}{4}~~~(2\pi)\) |
Un nombre réel positif a pour argument 0 modulo \(2\pi\).
Un nombre réel négatif a pour argument \(\pi\) modulo \(2\pi\).
En résumé, on dit aussi qu'un nombre réel a pour argument 0 modulo \(\pi\).
Un imaginaire pur a pour argument \(\frac{\pi}{2}\) ou \(-\frac{\pi}{2}\). On peut écrire \(\frac{\pi}{2}~~~(\pi)\).