On considère les points A et B d'affixes respectives \(z_A=1+2i\) et \(z_B=2-i\).
Question
Déterminer l'affixe du point C tel que OABC soit un parallélogramme en utilisant les affixes de vecteurs.
Indice
OABC paralllélogramme si et seulement si \(\overrightarrow {OA}=\overrightarrow{CB}\).
Solution
L'affixe de \(\overrightarrow {OA}\) est \(z_A-0=1+2i\).
Soit \(z_C=x+iy\) l'affixe de C. Alors \(z_B-z_C=2-i-x-iy=2-x+i(-1-y)\) est l'affixe de \(\overrightarrow{CB}\).
OABC paralllélogramme si et seulement si \(z_B-z_C=z_A\).
Donc \(2-x+i(-1-y)=1+2i\).
En identifiant parties réelles et imaginaires on a :
\(2-x=1\) donc \(x=1\)
\(-1-y=2\) donc \(y=-3\)
Donc \(C(1 ;-3)\).
Question
Déterminer l'affixe du point C tel que OABC soit un parallélogramme en utilisant les affixes de milieux.
Indice
OABC parallélogramme si et seulement si [OB] et [AC] ont même milieux.
Solution
Le milieu de [OB] a pour affixe \(\dfrac{z_B+0}{2}=\dfrac{2-i}{2}\).
Soit \(z_C=x+iy\) l'affixe de C. Alors l'affixe du milieu de [AC] est \(\dfrac{z_A+z_C}{2}=\dfrac{1+2i+x+iy}{2}\)
En identifiant parties réelles et imaginaires, les diagonales auront même milieux si et seulement si :
\(2=1+x\) donc \(x=1\)
\(-1=2+y\) donc \(y=-3\)
Donc \(C(1 ;-3)\).