Déterminer un ensemble de points
Question
Déterminer l'ensemble des points \(|\) d'affixe \(z\) du plan tels que \(|z-i|=|z+1|\).
Indice
On pourra considérer le point \(A(0 ;1)\) et \(B(-1 ;0)\).
Solution
On considère les point \(A(0 ;1)\) et \(B(-1 ;0)\) et \(z_A\) et \(z_B\) les affixes respectives.
\(|z-i|=|z-z_A|\) représente la distance AM
\(|z+1|=|z-z_B|\) représente la distance BM
On recherche donc l'ensemble des points M vérifiant \(AM=BM\). Ces points sont par définition sur la médiatrice du segment \([AB]\).
Question
Déterminer l'ensemble des points M d'affixe \(z\) du plan tels que \(\arg(z)=-\dfrac{\pi}{6}~~~(2\pi)\).
Solution
\(\arg(z)=-\frac{\pi}{6}~~~(2\pi)\) donc l'angle \((\vec u ;\overrightarrow{OM})=-\dfrac{\pi}{6}~~~(2\pi)\)
Le lieu des points M cherché est donc la demi-droite représentée ci-contre en rouge, à l'exclusion du point O, l'affixe de ce dernier n'ayant pas d'argument.
Question
Déterminer l'ensemble des points M d'affixe \(z\) du plan tels que \(z'=\dfrac{z+1}{z-1}\) soit imaginaire pur.
Indice
\(z'\) est imaginaire pur si et seulement si \(\overline {z'}=-z'\).
Attention, \(z'\) n'existe que si \(z \neq 1\) !
Solution
On cherche \(z\) de telle sorte que \(\dfrac{z+1}{z-1}=-\dfrac{\overline z+1}{\overline z-1}\) (\(z'=-\overline{ z'}\)).
En supposant \(z\neq 1\), par le produit en croix, on obtient l'égalité \((z+1)(\overline z-1)=-(\overline z+1)(z-1)\)
En développant cette expression, on a \(z\overline z-z+\overline z-1=-z\overline z+\overline z-z+1\)
Ce qui donne en simplifiant \(2z\overline z=2\) ou \(z\overline z=1\) ou \(|z |²=1\).
On cherche l'ensemble des points M vérifiant \(OM^2=1\) ou \(OM=1\).
Il s'agit du cercle de centre O et de rayon 1, auquel on retirera le point \(A(1 ;0)\)