Calculer avec les modules

Question

Soit \(z\) un complexe différent de \(i\). Montrer que \(\dfrac{\overline z-i}{z+i}\) a pour module 1.

Solution

\(\overline z-i\) et \(z+i\) sont conjugués. Ils ont donc même module.

Or \(\left|\dfrac{\overline z-i}{z+i}\right|=\dfrac{\mid \overline z-i\mid}{\mid z+i\mid}\)

Puisque \(\mid \overline z-i\mid=\mid z+i\mid\), on en déduit que \(\left|\dfrac{\overline z-i}{z+i}\right|=1\)