ROC : La loi exponentielle est une loi sans vieillissement
Soit T une variable aléatoire suivant une loi exponentielle.
Alors T vérifie la propriété de durée de vie sans vieillissement à savoir :
Pour tous réels t et s positifs :
\(\mathbb P_{(T\geqslant t)}(T\geqslant t+s)=\mathbb P(T\geqslant s)\)
Question
Démontrer ce résultat.
Solution
On sait que \(T\hookrightarrow \mathcal E(\lambda)\) avec \(\lambda >0\).
Donc si \(x\geqslant 0\), \(\mathbb P(T\leqslant x)=1-e^{-\lambda\cdot x}\)
Mais aussi \(\mathbb P(T\geqslant x)=\mathbb P(T> x)=1-\mathbb P(T\leqslant x)=e^{-\lambda\cdot x}\).
\(\mathbb P_{(T\geqslant t)}(T\geqslant t+s)=\dfrac{\mathbb P [(T\geqslant t+s)\cap (T\geqslant t)]}{\mathbb P(T\geqslant t)}\)
Or si \(T\geqslant t+s\) alors \(T\geqslant t\), donc l'événement \((T\geqslant t+s)\cap (T\geqslant t)\) est identique à l'événement \((T\geqslant t+s)\)
Par conséquent \(\mathbb P_{(T\geqslant t)}(T\geqslant t+s)=\frac{\mathbb P (T\geqslant t+s)}{\mathbb P(T\geqslant t)}=\dfrac{e^{-\lambda(t+s)}}{e^{-\lambda t}}=e^{-\lambda s}=\mathbb P(T\geqslant s)\)
Donc la variable aléatoire \(T\) suit un modèle sans vieillissement. cqfd.