Désintégration d'un atome de Carbone14
La durée de vie d'un atome radioactif de carbone14, exprimée en année, suit la loi exponentielle de paramètre \(\lambda=0,00012\). Ce paramètre porte le nom de constante de désintégration.
Question
Quelle est la durée de vie moyenne d'un tel atome ?
Solution
Soit X la variable aléatoire associant à tout atome de carbone14 sa durée de vie en années. \(X\hookrightarrow \mathcal E(0,00012)\).
On sait que \(\mathbb E(X)=\frac{1}{\lambda}\approx 8333\).
Donc la durée de vie moyenne d'un atome de Carbone 14 est de 8333 ans.
Question
Quelle est la probabilité qu'un tel atome ne soit pas encore désintégré au bout de 10000 ans ?
Solution
On cherche \(\mathbb P(X >10000)=1-\mathbb P(X\leqslant 10000)\).
Or on sait que \(P(X\leqslant 10000)=1- e^{-10000 \lambda}\approx 1-0,30\).
Donc \(\mathbb P(X >10000)\approx 0,30\) soit donc la probabilité qu'un tel atome soit encore actif au bout de 10000 ans vaut environ 0,3.
Demi-vie radioactive et médiane d'une variable aléatoire
La demi-vie radioactive d'un noyau est la médiane \(m_{1/2}\) de la variable aléatoire X que l'on définit par l'égalité
\(\mathbb P(X\leqslant m_{1/2})=\mathbb P(X\geqslant m_{1/2})=\dfrac{1}{2}\)
Question
Déterminer la demi-vie \(m_{1/2}\) d'un atome de Carbone14.
Solution
\(\mathbb P(X\geqslant m_{1/2})=0,5 \Longleftrightarrow e^{-\lambda m_{1/2}}=0,5 \Longleftrightarrow -\lambda m_{1/2}=\ln 2 \Longleftrightarrow m_{1/2}=\dfrac{\ln 2}{\lambda}\)
Donc la médiane de la variable aléatoire X vaut environ \(\dfrac{\ln 2}{0,00012}\approx 5776\).
La demi-vie d'un atome de Carbone14 est donc d'environ 5776 ans.
Attention :
La demi-vie d'un atome n'est pas égale à la moitié de la durée de vie moyenne !
\(5776\neq \dfrac{8333}{2}\)
Demi-vie
On pourra retenir que la demi-vie s'exprime en fonction du paramètre \(\lambda\) par la formule :\(m_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda}\)