ROC : Espérance de la loi exponentielle
Soit \(T\hookrightarrow \mathcal E(\lambda)\) une variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre \(\lambda >0\).
Alors l'espérance de \(T\) est donnée par la formule \(\mathbb E(T)=\dfrac{1}{\lambda}\).
Question
Démontrer ce résultat.
Indice
On pourra dériver la fonction \(G : t\longmapsto -\left(t+\frac{1}{\lambda}\right) e^{-\lambda t}\).
Solution
On sait que l'espérance de la variable T se calcule par \(\mathbb E(T)=\lim\limits_{x\to +\infty} \int_0^x t f(t)~dt\).
Posons \(G : t\longmapsto -\left(t+\frac{1}{\lambda}\right) e^{-\lambda t}\).
\(G'(t)=-(e^{-\lambda t} + \left(t+\frac{1}{\lambda}\right)(-\lambda) e^{-\lambda t})\)
\(G'(t)=\lambda t\cdot e^{-\lambda t}\)
Donc G est une primitive de \(t\cdot f(t)\).
Par conséquent, on peut calculer :
\(I(x)=\int_0^x t\cdot f(t) dt=\left[-\left(t+\frac{1}{\lambda}\right) e^{-\lambda t}\right]_0^x\)
\(I(x)=\dfrac{1}{\lambda}-\left(x+\frac{1}{\lambda}\right) e^{-\lambda x}\)
Or on sait que \( \lim\limits_{x\to +\infty} e^{-\lambda x}=0\) et \( \lim\limits_{x\to +\infty} x e^{-\lambda x}=0\) puisque \(\lambda\) est positif.
On en déduit que \(\mathbb E(T)=\lim\limits_{x\to +\infty} I(x)=\frac{1}{\lambda}\).