Application de l'espérance de la loi exponentielle
Nous allons voir l'utilité du calcul de l'espérance de la loi exponentielle au travers de l'exemple suivant : Une compagnie vendant des assurances pour smartphones a établi les relevés statistiques suivants :
On y apprend ainsi que l'iPhone 4 possède un taux de défaillance matérielle au bout de 12 mois de 2,1%. Si on y ajoute les pannes liés aux accidents (chutes ...) on arrive a un total de 15,9%.
Sachant que les défaillances (matérielles et accidents cumulés) suivent une loi de probabilité T non soumise au vieillissement, on s'intéresse au temps moyen de fonctionnement (MTBF) d'un iPhone 4, que l'on peut caractériser en mathématique comme l'espérance de la variable aléatoire T.
La question que l'on se pose dans l'activité est de savoir si on a intérêt à souscrire une garantie tous risques de 3 ans pour notre iPhone 4.
Question
Sachant que \(T\hookrightarrow \mathcal E(\lambda)\) et en utilisant les données du graphique, déterminer la valeur du paramètre \(\lambda\).
Indice
On sait d'après le graphique que la probabilité que notre iPhone4 soit hors d'usage au bout de 12 mois ou moins pour cause de défaillance ou accidentelle est de 15,9%
Solution
On sait que \(\mathbb P(T\leqslant 12)=0,159\).
Puisque \(T\hookrightarrow \mathcal E(\lambda)\), on peut écrire que \(1-e^{-12 \lambda}=0,159\).
Donc \(e^{-12 \lambda}=0,841\).
Donc \(-12 \lambda=\ln(0,841)\).
Donc\( \lambda \approx 0,0144\).
La fonction densité de la variable aléatoire T sur \(\mathbb R^+\) est donc définie par \(f(t)=0,0144\cdot e^{-0,0144 t}\).
Question
Calculer l'espérance de la variable aléatoire T.
En déduire le temps moyen en mois avant que notre iPhone4 tombe en panne.
Conclure sur la pertinence de souscrire une assurance 3 ans panne et casse.
Solution
On sait que \(\mathcal E(\lambda)=\frac{1}{\lambda}\approx 69,2\)
On peut donc « espérer »
qu'en moyenne, la première panne ou casse de notre iPhone4 surviendra au bout de 69 mois c'est à dire 5 ans et 9 mois. Il ne semble pas très pertinent de souscrire une assurance sur 3 ans.
Espérance de la loi exponentielle
On retiendra que si \(T\hookrightarrow \mathcal E(\lambda)\), alors l'espérance de T est donnée par la formule :
\(\mathbb E(t)=\dfrac{1}{\lambda}\)
Question
Si on exclut à présent les défaillances liées aux causes accidentelles, déterminer le MTBF de l'iphone4 en heures.
On supposera que le temps de bon fonctionnement de l'iPhone4 est une donnée qui n'est pas soumise au vieillissement.
Indice
On se souvient que l'iPhone 4 possède un taux de défaillance matérielle au bout de 12 mois de 2,1%.
Indice
On pourra déterminer le paramètre de la nouvelle variable aléatoire suivant une loi exponentielle de manière analogue à la première question.
Solution
Calcul du paramètre
On sait que \(\mathbb P(X\leqslant 12)=0,021\)
Puisque \(X\hookrightarrow \mathcal E(\lambda)\), on peut écrire que \(1-e^{-12\lambda}=0,021\)
Donc \(e^{-12 \lambda}=0,979\)
Donc \(-12 \lambda=\ln(0,979)\)
Donc\( \lambda \approx 0,00177\)
Calcul de l'espérance
On sait que \(\mathbb E(X)=\frac{1}{\lambda}\approx 565\).
Si on exclut les causes accidentelles de panne, on peut espérer que notre iPhone fonctionne 565 mois soit un peu plus de 47 ans, ou 17209 jours, où 361401 heures...
Le MTBF de notre iPhone4 est donc d'un peu plus de 360 000 heures.