Intersection d'un plan et d'une droite
Dans un repère \(\left(O ;\overrightarrow{i};\overrightarrow{j}\right)\) quelconque de l'espace, soit un plan \(\mathcal{P}\) dirigé par les deux vecteurs \(\overrightarrow{u} \left (\begin{array}{c}1\\1\\2\end{array}\right )\) et \(\overrightarrow{v} \left (\begin{array}{c}1\\-1\\3\end{array}\right )\) et passant par le point O et soit \((d)\) la droite de vecteur directeur \(\overrightarrow{w}\left (\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right )\) et passant par \(A\left(1 ;1 ;0\right)\).
Question
Déterminer un système d'équations paramétriques du plan \(\mathcal P\) et de la droite \((d)\).
Solution
Pour \(\mathcal{P}\) : \(\left \{\begin{array}{c @{=} c}x & t+t' \\y & t-t' \\z&2t+3t'\end{array}\right.\).
Pour \((d)\), \(\left \{\begin{array}{c @{=} c}x & 1+t'' \\y & 1+t'' \\z&t''\end{array}\right.\).
En résolvant le système, on trouve \(\left \{\begin{array}{c @{=} c}t & -1 \\t' &-1 \\t''&-2\end{array}\right.\).