Calculer avec des coordonnées dans l'espace
L'espace est rapporté à un repère orthonormé \((O ;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k})\).
On considère les points \(A(-1 ;3 ;1)\), \(B(3,1,-1)\), \(C(1 ;-3 ;-1)\) , \(D(-5 ;0 ;2)\)
Question
Justifier que ABC est un triangle rectangle
Solution
\(AB=\sqrt{(3-(-1))^2+(1-3)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{24}\)
\(AC=\sqrt{(1-(-1))^2+(-3-3)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{44}\)
\(BC=\sqrt{(1-3)^2+(-3-1)^2+(-1-(-1))^2}=\sqrt{20}\)
On constate ainsi que \(AC^2=AB^2+BC^2\) donc d'après la réciproque de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en B.
Question
Montrer que \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{CD}\) sont colinéaires.
En déduite que A, B C et D sont coplanaires. Quelle est la nature de ABCD ?
Solution
\(\overrightarrow{AB} \left (\begin{array}{c}3-(-1)\\1-3\\-1-1\end{array}\right )\) donc \(\overrightarrow{AB} \left (\begin{array}{c}4\\-2\\-2\end{array}\right )\)
\(\overrightarrow{CD} \left (\begin{array}{c}-5-1\\0-(-3)\\2-(-1)\end{array}\right )\) donc \(\overrightarrow{CD} \left (\begin{array}{c}-6\\3\\3\end{array}\right )\)
On voit ainsi que \(\overrightarrow{CD}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}\) ce qui démontre leur colinéarité
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles donc coplanaires. Les points A,B,C et D sont donc coplanaires.
Le quadrilatère ABCD est un trapèze, rectangle en B.