Représentation paramétrique d'une droite
L'espace est rapporté à un repère \((O ;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k})\).
On considère les points \(A(2 ;-1 ;5)\), \(B(1,-3,2)\), \(C(2 ;3 ;9)\) et le vecteur \(\overrightarrow{u} \left (\begin{array}{c}1\\0\\1\end{array}\right )\).
Question
Donner une représentation paramétrique de la droite (AB).
Indice
Un vecteur directeur de la droite (AB) est \(\overrightarrow{AB}\).
Solution
\(\overrightarrow{AB} \left (\begin{array}{c}1-2\\-3-(-1)\\2-5\end{array}\right )\) donc
\(\overrightarrow{AB} \left (\begin{array}{c}-1\\-2\\-3\end{array}\right )\)
Une représentation paramétrique de (AB) est donc :
\((AB) : \left\{\begin{array}{c}x=2-t\\y=-1-2t\\z=5-3t\end{array}\right.\) avec \(t\in\mathbb R\)
Question
Donner une représentation paramétrique de la droite \((C,\overrightarrow{u})\).
Solution
Une représentation paramétrique de la droite \((C,\overrightarrow{u})\)) est :
\((d) : \left\{\begin{array}{l}x=2+t\\y=3\\z=9+t\end{array}\right.\) avec \(t\in\mathbb R\) avec \(t\in\mathbb R\)
Question
Les droites (AB) et \((C,\overrightarrow{u})\) sont-elles sécantes ? Si oui, déterminer les coordonnées du point d'intersection.
Indice
Il faut déterminer s'il existe deux paramètres \(t\) et \(t'\) permettant à un même triplet de coordonnées \((x ; y ;z)\) de vérifier les deux représentations paramétriques.
Solution
Les coordonnées \((x ;y ;z)\) du point d'intersection - s'il existe - doivent vérifier simultanément les deux représentations paramétriques des droites (AB) et \((C,\overrightarrow{u})\). Néanmoins il n'y a acune raison que la valeur du paramètre t soit identique dans les deux représentations. Écrivons donc le système d'équations
\((S) : \left\{\begin{array}{l}x=2-t=2+t'\\y=-1-2t=3\\z=5-3t=9+t'\end{array}\right.\) où \(t,~t'\in\mathbb R\).
\((S) \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2-t=2+t'\\-2t=4\\5-3t=9+t'\end{array}\right.\)
La valeur \(t=-2\) de la seconde équation nous permet de remplacer dans les autres équations l'inconnue \(t\).
\((S) \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2+2=2+t'\\t=-2\\5+6=9+t'\end{array}\right.\)
Ce qui nous permet d'avoir la valeur de t'.
\((S) \Longleftrightarrow \left\{\begin{array}{l}2=t'\\t=-2\\2=t'\end{array}\right.\)
Le système admet donc une solution unique avec \(t=-2\) et \(t'=2\).
En remplaçant la valeur du paramètre dans l'une ou l'autre des équations paramétriques, on trouve les coordonnées du point d'intersection, à savoir :\(I(4 ;3 ;11)\).