Droites orthogonales
On considère dans un repère orthonormé :
Une droite (d) de représentation paramétrique \((d) : \left\{\begin{array}{c}x=2+t\\y=2+t\\z=3\end{array}\right.\) avec \(t\in\mathbb R\)
Une droite (d') de représentation paramétrique \((d') : \left\{\begin{array}{c}x=-1-4t\\y=5+4t\\z=-1-2t\end{array}\right.\) avec \(t\in\mathbb R\)
Question
Montrer que \((d)\) et \((d')\) ne sont pas coplanaires
Solution
Leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires
Résolvons le système
\(\left\{\begin{array}{c}2+t=-1-4t'\\2+t=5+4t'\\3=-1-2t'\end{array}\right.\)
La dernière équation donne \(t'=-2\)
dans la seconde équation, on a donc \(2+t=-3\) soit \(t=-5\)
la première équation donne donc \(-3=7\) ce qui prouve que les droites ne sont pas sécantes.
Puisqu'elles ne sont pas parallèles non plus, elles sont non coplanaires.
Question
Donner une représentation paramétrique de la droite \((d")\) parallèle à \((d')\) passant par \(A(2 ;2 ;3)\)
Solution
Une représentation paramétrique de la parallèle à (d') passant par A(2 ;2 ;3) est \((d") : \left\{\begin{array}{c}x=2-4t\\y=2+4t\\z=3-2t\end{array}\right.\) avec \(t\in\mathbb R\)
Question
Quelle est la position relative de \((d)\) et \((d")\) ?
Indice
On pourra montrer qu'elles sont perpendiculaires
On pourra trouver deux points \(B\) et \(C\) respectivement sur \((d)\) et \((d")\)
Solution
Les deux droites \((d)\) et \((d")\) sont sécantes puisqu'elles ont des vecteurs directeurs non colinéaires et ont le point \(A\) en commun.
prenons \(t=1\) pour la droite \((d)\) : \(B(3 ;3 ;3)\)
prenons \(t=1\) pour la droite \((d")\) : \(C(-2 ; 6 ; 1)\)
Calculons
\(AB=\sqrt 2\)
\(AC=\sqrt {36}\)
\(BC=\sqrt {38}\)
Donc \(AB^2+AC^2=BC^2\)
Donc \((AB)\) et \((AC)\) sont perpendiculaires
Donc \((d)\) et \((d")\) sont perpendiculaires
Question
Que peut-on en déduire pour \((d)\) et \((d')\) ?
Solution
\((d)\) et \((d')\) sont orthogonales car \((d')\) est parallèle à une droite perpendiculaire à \((d)\) et qu'elles ne sont pas coplanaires.