Représentation paramétrique d'une droite
Fondamental :
L'espace est rapporté à un repère \((O ;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k})\)
Soit
A un point de coordonnées \((x_A ;y_A ;z_A)\)
\(\overrightarrow{u}\) un vecteur non nul de coordonnées \(\overrightarrow{u} \left (\begin{array}{c}a\\b\\c\end{array}\right )\)
Alors \(M(x ;y ;z)\) est sur la droite passant par A et de vecteur directeur \(\overrightarrow{u}\) Si et seulement si \(\overrightarrow{AM}=t.\overrightarrow{u}\)avec \(t\in \mathbb R\), ce qui revient à écrire le système suivant :
\(\left\{\begin{array}{c}x=x_A+t\times a\\y=y_A+t\times b\\z=z_A+t\times c\end{array}\right.\) avec \(t\in\mathbb R\)
Définition :
On dit que ce système est une représentation paramétrique de la droite \((A ;\overrightarrow{u})\)
Exemple :
\(\left\{\begin{array}{c}x=-2+t\\y=4\\z=1-3t\end{array}\right.\), \(t\in\mathbb R\)
est une représentation paramétrique d'une droite \(\Delta\) passant par le point \(A(-2 ;4 ;1)\) et dirigée par le vecteur \(\overrightarrow{u} \left (\begin{array}{c}1\\0\\-3\end{array}\right )\)
Le point \(E(-3 ;4 ;4)\) appartient à la droite \(\Delta\) : en effet la valeur \(t=-1\) du paramètre dans la représentation paramétrique permet d'obtenir les coordonnées de E.
Le point \(F(2 ;3 ;-2)\) n'appartient pas à la droite car aucune valeur du paramètre t ne permettra d'avoir la seconde coordonnée correcte.
Remarque :
Il existe une infinité de représentations paramétriques d'une droite dans la mesure où il existe une infinité de vecteurs directeurs possibles.
De même que pour une droite, il en existe une infinité.