Géométrie dans l'espace

Existence : Soient A,B,C,D et M des points tels que :

\(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}\) ; \(\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}\) ; \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{w}\) et \(\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{t}\)

\(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont non colinéaires car sinon \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) seraient coplanaires. Ainsi A,B et C définissent un plan dont (A ;\(\overrightarrow{u}\); \(\overrightarrow{v}\)) est un repère.

La parallèle à \(\overrightarrow{AD}\) passant par M est dirigée par \(\overrightarrow{w}\). Puisque \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) sont 3 vecteurs non coplanaires, cette parallèle rencontre le plan (ABC) en un point H.

\(\overrightarrow{HM}\) et \(\overrightarrow{w}\) sont colinéaires donc \(\overrightarrow{HM}=z\overrightarrow{w}\)

Maintenant, \(\overrightarrow{t}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HM}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}+z\overrightarrow{w}\) ce qui prouve l'existence des cooordonnées x ; y et z.

Unicité : On suppose que le vecteur \(\overrightarrow{t}\) possède deux écritures :

\(\overrightarrow{t}=\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HM}=x\overrightarrow{u}+y\overrightarrow{v}+z\overrightarrow{w}=x'\overrightarrow{u}+y'\overrightarrow{v}+z'\overrightarrow{w}\)

Alors \((x-x')\overrightarrow{u}+(y-y')\overrightarrow{v}+(z-z')\overrightarrow{w}=\overrightarrow{0}\)

Supposons que l'une de ces 3 différences ne soit pas nulle, par exemple \(z-z'\neq 0\), alors on peut exprimer le vecteur \(\overrightarrow{w}=\dfrac{x-x'}{z-z'}\overrightarrow{u}+\dfrac{y-y'}{z-z'}\overrightarrow{v}\) ce qui démontre que \(\overrightarrow{u}\), \(\overrightarrow{v}\) et \(\overrightarrow{w}\) sont coplanaires. Or on sait par hypothèse que c'est faux. Donc \(z=z'\) et en procédant de même pour les autres coordonnées, on montre que \(x=x'\) et \(y=y'\).

Ce qui démontre l'unicité de la décomposition.