Coordonnées dans l'espace
Nous retrouvons dans l'espace des formules bien connues dans le plan.
On considère dans la suite deux points A et B de coordonnées \((x_A ;y_A ;z_A)\) et \((x_B ;y_B ;z_B)\) dans un repère \((O ;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k})\)
Fondamental : Coordonnées d'un vecteur
Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) a pour coordonnées \(\overrightarrow{AB} \left (\begin{array}{c}x_B-x_A\\y_B-y_A\\z_B-z_A\end{array}\right )\)
Fondamental : Coordonnées du milieu d'un segment
Le milieu du segment [AB] a pour coordonnées\( \left(\dfrac{x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2} ; \dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\)
Fondamental : Norme d'un vecteur
Si le repère \((O ;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k})\) est orthonormé c'est à dire
\(||\overrightarrow{i}||=||\overrightarrow{j}||=||\overrightarrow{k}||=1\)
\(\overrightarrow{i}\), \(\overrightarrow{j}\) et \(\overrightarrow{k}\) sont orthogonaux
Alors \(AB=||\overrightarrow{AB}||=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}\)
Complément : Avec les coordonnées de vecteur
Soient \(\overrightarrow{u} \left (\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right )\) et \(\overrightarrow{v} \left (\begin{array}{c}x'\\y'\\z'\end{array}\right )\) et \(t\in\mathbb R\)
\(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v} \left (\begin{array}{c}x+x'\\y+y'\\z+z'\end{array}\right )\)
\(t.\overrightarrow{u} \left (\begin{array}{c}tx\\ty\\tz\end{array}\right )\)
\(\overrightarrow{u}\) et \(\overrightarrow{v}\) sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles
Si le repère \((O ;\overrightarrow{i} ;\overrightarrow{j} ;\overrightarrow{k})\) est orthonormé, on a \(||\overrightarrow{u}||=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\)