Signe et sens de variation
Fondamental : Une exponentielle est toujours positive
Pour tout réel \(x, ~e^x>0\).
Complément :
En effet, toute exponentielle s'écrit comme un carré : \(e^x=(e^{x/2})^2\). A ce titre, \(e^x\) est donc positif ou nul pour toute valeur de \(x\). Mais on a déjà vu que \(e^x\) n'était pas nul.
Fondamental : L'exponentielle est croissante
La dérivée de la fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.
Or celle-ci est toujours positive.
Par conséquent, l'exponentielle est croissante sur \(\mathbb R\).
Complément : L'exponentielle conserve les inégalités
On en déduit que pour tous réels x et y :
\(x<y \Longleftrightarrow e^x<e^y\)
\(x=y \Longleftrightarrow e^x=e^y\)
Remarque :
Ces propriétés d'allure anodine sont très commodes pour résoudre des équations ou des inéquations faisant intervenir des exponentielles :
Exemple :
Résoudre \((e^x)^2=e^{x^2}\)
Commençons par écrire le membre de gauche sous forme d'une exponentielle :
\(e^{2x}=e^{x^2}\)
A présent, l'exponentielle étant strictement croissante sur \(\mathbb R\) on en déduit que cette égalité a lieu si et seulement si les expressions à l'intérieur des fonctions exponentielles sont égales (les mauvaises langues diront qu'on a simplifié par e ! !)`
\(2x=x^2\).
Pour résoudre cette équation du second degré, on ne simplifie surtout pas par \(x\) ! ! On met tout à gauche et on met \(x\) en facteur.
\(x^2-2x=0\Longleftrightarrow x(x-2)=0\)
Ce qui nous donne deux solutions : \(x=0\) et \(x=2\)