Encore une limite à connaître
Fondamental :
\(\lim\limits_{x \to 0} \frac{e^x-1}{x}=1\)
Remarque :
Il s'agit la encore d'une indétermination du type \(\frac{0}{0}\). Pour la lever, on va utiliser ... les dérivées !
Méthode : On utilise la définition du nombre dérivé en 0
On se rappelle la définition du nombre dérivé d'une fonction en un point.
Sachant que \(1=e^0, \frac{e^x-e^0}{1-0}\) est le taux d'accroissement de la fonction exponentielle en 0
Puisque l'exponentielle est dérivable en 0, ce taux d’accroissement tend vers une limite qui est le nombre dérivé \(\exp'(0)=1\)
CQFD