Comparaison exp et x
Nous allons voir qu'en l'infini, l'exponentielle l'emporte sur \(x\). Ce résultat sera à connaître.
Question
On considère la fonction \(f :x\longmapsto e^x-\frac{x^2}{2}\) définie sur \([0 ;+\infty[\).
Calculer \(f'\) puis en déduire les variations de \(f\).
Solution
\(f'(x)=e^x-x\)
Or on a vu précédemment que \(e^x-x\) était positif sur \([0 ;+\infty[\). On peut donc affirmer que \(f\) est croissante sur \([0 ;+\infty[\).
Question
En déduire que pour tout \(x\) positif, \(\frac{e^x}{x}>\frac{x}{2}\).
Indice
On pourra montrer que \(e^x>\frac{x^2}{2}\).
Solution
Puisque \(f\) est croissante sur \([0 ;+\infty[\), si \(x>0, ~f(x)>f(0)\).
Or \(f(0)=1\) donc pour \(x\in [0 ;+\infty[\) on a \(e^x-\frac{x^2}{2}>0\).
Donc pour \(x\in [0 ;+\infty[\) on a \(e^x>\frac{x^2}{2}\)
et en divisant par \(x\) positif, on ne change pas le sens de l'inégalité ce qui donne \(\frac{e^x}{x}>\frac{x}{2}\).
Question
Montrer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty\).
Solution
On sait que
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{x}{2}=+\infty\)
\(\frac{e^x}{x}>\frac{x}{2}\) si x est positif
D'après le théorème de comparaison, on peut affirmer que \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty\).
Question
Montrer que \(\lim\limits_{x \to -\infty} xe^x=0\)
Indice
On pourra poser \(X=-x\).
Indice
Si \(x\) tend vers \(-\infty\), X tend vers ...
Solution
Posons \(X=-x\). Alors \(\lim\limits_{x \to -\infty} xe^x=\lim\limits_{X \to +\infty}\frac{X}{e^X}=0\)
puisque \(\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x}=+\infty\) et que \(\frac{1}{\infty}=0\).
Pour retenir ces limites, on se dit que l'exponentielle l'emporte sur \(x\) :
En \(+\infty\), elle l'emporte sur \(x\) et le quotient tend vers l'infini.
En \(-\infty\), elle écrase le \(x\) vers 0.
Ces limites permettent de lever des cas d'indétermination 
: \(\frac{\infty}{\infty}\) pour la première et \(0\times \infty\) pour la seconde.
A ce titre il est important de les mémoriser.