ROC : Limites en l'infini de la fonction exponentielle

Limites à connaître

\(\lim\limits_{x \to +\infty} e^x=+\infty\)

\(\lim\limits_{x \to -\infty} e^x=0\)

Question

ROC : Démontrer ces résultats

Solution

Méthode**ROC** Démonstration

Pour la première limite, on va démontrer que pour tout \(x\in \mathbb R, ~e^x>x\)

Soit \(f(x)=e^x-x\)

\(f'(x)=e^x-1\)

La fonction exponentielle est croissante sur \(\mathbb R\) et \(f(0)=1\). Par conséquent si \(x>0, ~~e^x>e^0=1\)

Donc pour tout \(x>0, ~e^x-1>0\) donc \(f\) est croissante sur \([0 ;+\infty[\).

Maintenant, \(f(0)=1\) et \(f\) croissante sur \([0 ;+\infty[\) signifie que pour tout réel \(x\) positif \(f(x)>0\) et donc \(e^x>x\).

On sait donc que :

  • \(\lim\limits_{x \to +\infty} x=+\infty\)

  • pour \(x>0, ~~e^x>x\)

Le théorème de comparaison sur les limites nous prouve que \(\lim\limits_{x \to +\infty} e^x=+\infty\)

CQFD

La seconde limite découle de la première. En effet si \(x\) tend vers \(-\infty\), \(-x\) tend vers \(+\infty\).

Donc \(\lim\limits_{x \to -\infty} e^x=\lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{e^{-x}}=\lim\limits_{x \to +\infty} \frac{1}{e^{x}}=0\) car du type \(\frac{1}{+\infty}\).