Limite infinie
Exemple :
Soit \((w_n)\) la suite définie par \(v_n=0,1\times1,2^n\)
Tous les termes de cette suite sont le produit de nombres strictement positifs et sont donc strictement positifs.
De plus l'étude des variations des suites géométriques nous apprend que comme la raison 1,2 est strictement supérieure à 1, la suite \((w_n)\) est strictement croissante.
L'examen des premières valeurs de la suite à l'aide de la calculatrice montre que les valeurs augmentent
Le graphe de la suite nous montre que cette augmentation est de plus en plus forte au fur a mesure que n croît.
En réalité, on peut rendre les valeurs de la suite aussi grandes que l'on veut pour peu que l'on choisisse un rang suffisamment grand pour n.
Supposons que l'on souhaite obtenir des termes dépassant un million.
Le programme Python ci-dessous peut nous convaincre de l'existence d'un tel rang au delà duquel les valeurs de la suite dépassent le million. Il exploite une boucle tant que comme l'illustre l'algorithme correspondant ci contre.
seuil=input("Saisir la valeur du seuil ")n=0
while 0.1*1.2**n < seuil:
n=n+1
print "pour n=",n," on a un=",0.1*1.2**n
>>>
Saisir 1 000 000 pour la valeur du seuil
pour n= 89 on a \(u_n\)= 1114630.43741
Ainsi le seuil de un million est dépassé au delà du 89ème rang.
Le même programme implémenté en langage TI serait :
Le même avec algobox :
Définition :
Lorsque les termes d'une suite positive peuvent être rendus aussi grands que l'on veut au delà d'un certain rang, on dit que cette suite tend vers l'infini ou qu'elle diverge.
On note alors \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty\)