Limite d'une suite géométrique
Fondamental : Propriété admise
Soit q un nombre strictement positif :
Si \(q>1\) alors \(\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=+\infty\)
Si \(0<q<1\) alors \(\lim\limits_{n \to +\infty} q^n=0\)
Complément :
Si \((u_n)\) est une suite géométrique positive de raison q, alors
Si \(q>1\) alors \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty\)
Si \(0<q<1\) alors \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0\)
En effet, \(u_n\) peut alors s'écrire \(u_n=u_0\times q^n\). La multiplication de \(q^n\) par la constante positive \(u_0\) ne change pas le comportement de \(q^n\) à l'infini, que celui-ci tende vers 0 ou l'infini.
Exemple :
Cette propriété nous permet de conforter les conjectures que vous avons faites sur les paragraphes précédents concernant les suites \((u_n)\) et \((v_n)\)
\(u_n=5\times0,2^n\). La raison est strictement comprise entre 0 et 1 donc la suite \((u_n)\) converge vers 0 (\(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=0\))
\(v_n=0,1\times1,2^n\). La raison est strictement plus grande que 1 donc la suite \((v_n)\) diverge (\(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=+\infty\))