Étudier les limites des suites suivantes :
Question
\(u_n=3^n\)
Solution
Puisque la raison 3 est plus grande que 1, on sait que \(\lim\limits_{n \to +\infty} 3^n=+\infty\) donc \(\lim\limits_{n \to +\infty} u_n=+\infty\)
Question
\(v_n=\left(\dfrac{1}{3}\right)^n-1\)
Indice
Attention, la suite \((v_n)\) n'est pas géométrique !
Solution
Étudions tout d'abord la limite de \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\).
Ici, la raison est strictement comprise entre 0 et 1 strictement, donc le terme \(\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\) tend vers 0.
Si on retranche 1 pour obtenir la suite \((v_n)\), alors on obtient la limite suivante :
\(\lim\limits_{n \to +\infty} v_n=-1\)
Question
\(w_n=3^n-2^n\)
Indice
On pourra mettre \(3^n\) en facteur dans l'expression de \(w_n\).
Solution
\(w_n=3^n\left(1-\dfrac{2^n}{3^n}\right)=3^n\left(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\right)\)
Une fois sous cette forme, on constate :
que \(1-\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\) tend vers 1 car \(\left(\dfrac{2}{3}\right)^n\) tend vers 0
que \(3^n\) tend vers l'infini car 3>1
La suite \((w_n)\) est donc le produit d'un facteur qui se rapproche de 1 par un autre qui devient arbitrairement grand. On en conclut que \(\lim\limits_{n \to +\infty} w_n=+\infty\)
Attention :
Si on avait pas mis \(3^n\) en facteur, on aurait obtenu une limite du type \(\infty - \infty\). Ce type de limite peut donner n'importe quel résultat. On dit que c'est une indétermination. On a pu lever cette indétermination ici en mettant le terme prépondérant en facteur.