Petit théorème de Fermat
Ce théorème, énoncé par Fermat en 1640 n'a pas été démontré par Fermat mais par Leibniz et Euler.
Exemple : Considérons 7 : nombre premier
\(20^6 -1 = 63999999 = \times 9142857\)
\(19^6-1 = 47045880 = 7\times 6720840\)
\(18^6-1 = 34012223 ) 7\times 4858889\)
Coïncidence ? je ne crois pas :)
Est-ce toujours vrai ? je ne crois pas non plus !
\(21^7 -1 = 85766120\), non divisible par 7
Fondamental : petit théorème de Fermat (admis)
Si \(p\) est un nombre premier
et si \(a\) est un entier non divisible par \(p\),
alors \(a^{p-1}-1\) est divisible par \(p\), autrement dit : \(a^{p-1}\equiv 1[p]\).
Complément : Corollaire
Soit \(p\) un nombre premier et \(a\in\mathbb Z\)
Alors \(a^p-a\) est divisible par \(p\). Autrement dit, \(a^p \equiv a[p]\)
démonstration
\(a^p-a = a(a^{p-1}-1)\)
On distingue 2 cas :
Si \(a\) est divisible par \(p\), alors \(a(a^{p-1}-1)\) l'est aussi (à cause du facteur \(a\))
Si \(a\) n'est pas divisible par \(p\), alors \(a(a^{p-1}-1)\) l'est aussi (à cause du théorème de Fermat appliqué au second facteur).