Décomposition en facteurs premiers
Exemple :
On considère le nombre \(n=792\). Pour connaître la liste de ses diviseurs premier, on les essaye tous !
\(792\div 2 = 396\) . Tant qu'on peut diviser par 2, on continue !
\(396 \div 2 = 198\)
\(198\div 2 = 99\). On ne peut plus diviser par 2, on passe à 3.
\(99\div 3 = 33\)
\(33\div 3 = 11\)
On s'arrête car 11 est un nombre premier. On en déduit la décomposition de 792 en facteurs premiers :
\(792 = 2^3\times 3^2\times 11\)
Fondamental : Théorème fondamental de l'arithmétique
Tout entier naturel strictement supérieur à 1 se décompose en produit de facteurs premiers.
De plus, cette décomposition est unique à l'ordre près des facteurs.
Démonstration de l'existence
Soit \(n\) l'entier naturel dot on cherche une décomposition.
Si \(n\) est premier, l'existence est démontrée.
Sinon, le plus petit diviseur (différent de 1) \(p_1\) de \(n\) est premier et il existe un entier naturel \(n_1\) tel que : \(n = p_1n_1\)
si \(n_1\) est premier, l'existence est démontrée.
Sinon, le plus petit diviseur (différent de 1) \(p_2\) de \(n_1\) est premier et il existe un entier naturel \(n_2\) tel que : \(n_1 = p_2n_2\)
si \(n_2\) est premier, l'existence est démontrée.
En recommençant ce processus, on obtient une suite \((n_k)\) d'entiers naturels. Cette suite est finie car pour chaque terme \(n_k\) : \(1<n_k<n_{k-1}\) et il n'est donc pas possible de caser une infinité de termes ainsi entre 1 et \(n_{k-1}\).
A la fin du processus, on a bien écrit \(n=p_1^{\alpha_1} \times p_2^{\alpha_2} \ldots \times p_r^{\alpha_r}\)
Démonstration de l'unicité
Pour démontrer l'unicité, on va supposer que \(n\) possède deux décompositions différentes, c'est à dire qu'un nombre premier \(p_1\) apparaît dans une décomposition avec l'exposant \(\alpha_1\) et dans l'autre avec l'exposant \(\alpha_1'\), et \(\alpha_1 \neq \alpha_1'\)
\(n = p_1^{\alpha_1}a = p_1^{\alpha_1'}b\) où \(a\) et \(b\) sont des produits de nombres premiers distincts de \(p_1\)
Si \(\alpha_1 > \alpha_1'\) alors \(ap_1^{\alpha_1 - \alpha_1'} = b\) ce qui signifie que \(p_1\) divise \(b\). Cela est impossible puisque \(b\) ne fait pas intervenir \(p_1\) dans sa décomposition.
De même si \(\alpha_1' > \alpha_1\) on aboutit au même type de contradiction.
On en conclut que \(\alpha_1' = \alpha_1\), ce qui prouve l'unicité de la décomposition.