Théorème de Gauss
Exemple : Mise en contexte
\(300 = 100\times 3\)
6 divise 300 mais 6 ne divise ni 3 ni 100. Cela est du au fait que une partie des diviseurs de 6 se retrouve dans 3 et une autre dans 100.
Maintenant, si aucun des diviseurs de 6 ne se retrouve dans l'un des facteurs, 6 va pouvoir diviser l'autre facteur :
\(300 = 5\times 60\)
6 et 5 n'ont pas de diviseurs en commun, donc 6 divise 60.
Fondamental : Théorème de Gauss
Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois entiers naturels non nuls.
Si \(a\) divise \(bc\) et si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux alors \(a\) divise \(c\).
Démonstration au programme
\(a\) divise \(bc\) donc il existe \(k\in\mathbb Z\) tel que \(bc = ka\).
\(a\) et \(b\) sont premiers entre eux donc il existe \(u, v\in\mathbb Z\) tels que \(au + bv = 1\).
Soit en multipliant par \(c\) : \(acu + bcv = c\) soit encore \(acu + kav = c\)
Et donc \(a(cu + kv) = c\)
On en déduit que \(a\) divise \(c\).
Complément : Conséquence du théorème de Gauss
Soit \(a\), \(b\) et \(c\) trois entiers naturels non nuls.
Si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux et divisent \(c\), alors \(ab\) divise \(c\).
Démonstration
Puisquei \(a\) et \(b\) divisent \(c\), on a \(c = ka = k'b\) et donc \(a\) divise \(k'b\)
\(a\) et \(b\) sont premiers entre eux donc d'après le théorème de Gauss, \(a\) divise \(k'\), et donc \(k' = ak''\)
au final, on a \(c = ka = k'b = ak''b\). Donc \(ab\) divise \(c\).