Résoudre une équation Diophantienne
Étudier l'exemple ci-dessous, expliqué par Yvan Monka :
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Méthode générale pour une équation diophantienne du premier degré
Une équation diophantienne du premier degré est une équation du type \(ax+by=c\) à coefficients entiers, que l'on cherche à résoudre sur les entiers.
La conséquence du théorème de Bézout nous dit que ce type d'équation possède des solutions si \(c\) est un multiple du PGCD de \(a\) et \(b\). Une solution particulière de l'équation peut être trouvée, soit en la devinant, soit en utilisant l'algorithme d'Euclide renversé.
A partir d'une solution particulière, le théorème de Gauss permet alors de trouver toutes les solutions de cette équation.
Question
Soit (E) l'équation \(7x-11y=3\) où \(x,y\in\mathbb Z\)
Justifiez que (E) admet des solutions et donner une solution particulière de cette équation.
Indice
On pourra remarquer que 7 et 11 sont premiers entre eux.
Solution
\(PGCD(7 ;11)=1\) donc d'après l'identité de Bézout, il existe \(u, v\in\mathbb Z\) tels que \(7u+14v = 1\). En multipliant cette égalité par 3, on trouve des solutions à l'équation (E).
Sachant que \(3\times 7 = 21\) et \(2\times 11 = 22\), il est facile de voir que \(2\times 11-3\times 7 = 1\) et donc \(7\times (-9)-11\times (-6) = 3\). Le couple \((x_0 ;y_0) = (-9 ;-6)\) est donc une solution particulière.
Question
Donner toutes les solutions de l'équation (E)
Indice
On pourra utiliser la solution particulière pour se ramener à une équation "=0"
Indice
On pourra utiliser le théorème de Gauss pour trouver toutes les solutions.
Solution
Méthode : On utilise la solution particulière pour éliminer la constante
\(\left \{\begin{array}{rcl}7x-11y &=&3 \\7\times (-9)-11\times (-6) &=&3\end{array}\right.\)
Donc en soustrayant ces deux équations, on obtient une nouvelle équation dans laquelle la constante 3 a disparu :
\(7(x+9)-11(y+6)=0\) qui peut se réécrire \(7(x+9)=11(y+6)\)
Méthode : On utilise le théorème de Gauss
\(7(x+9)=11(y+6)\) donc 7 divise \(11(y+6)\)
7 et 11 sont premiers entre eux
donc d'après le théorème de Gauss, 7 divise \(y+6\) et \(y+6\) peut s'écrire \(y+6=7k\) où \(k\in\mathbb Z\)
par le même raisonnement 11 divise \(7(x+9)\) donc 11 divise \(x+9\) et \(x+9=11k'\) où \(k'\in\mathbb Z\)
Méthode : Réciproquement : on montre que nécessairement k=k'
En effet : \(7(x+9)=11(y+6)\) donc \(7\times 11k' = 11\times 7k\) donc \(77k = 77k'\) et donc \(k=k'\)
Conclusion : les solutions de l'équation sont
\(\left \{\begin{array}{rcl}x&=&11k-9 \\y&=&7k-6\end{array}\right.\) avec \(k\in\mathbb Z\)
Exemple : autre solution de l'équation (E)
Si on choisit k=2, on obtient une autre solution de (E) :
\(x=22-9 = 13\) et \(y=14-6 = 8\). Le couple \((x_2 ;y_2) = (13 ;8)\) est solution de (E).
Vérification : \(7\times 13 - 11\times 8 = 91-88=3\)