\(n\) désigne un entier naturel quelconque
Question
Question
Démontrer que n(2n+1)(7n+1) est divisible par 6
Indice
On pourra utiliser le même raisonnement qu'à la question précédente.
Indice
On pourra utiliser des tableaux de congruences modulo 2 et 3
Solution
Démontrons que n2n+1)(7n+1) est divisible par 2.
Méthode : Tableau de congruence modulo p
Pour démontrer une propriété modulo \(p\), surtout quand \(p\) est petit, une méthode simple mais efficace consiste à tout simplement lister les \(p\) cas possibles dans un tableau.
\(n\) | 0 | 1 |
|---|---|---|
\(2n+1\) | 1 | 1 |
\(7n+1\) | 1 | 0 |
\(n(2n+1)(7n+1)\) | 0 | 0 |
\(n\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
\(2n+1\) | 1 | 0 | 2 |
\(7n+1\) | 1 | 2 | 0 |
\(n(2n+1)(7n+1)\) | 0 | 0 | 0 |
On en conclut que 2 et 3 divisent \(n(2n+1)(7n+1)\), et puisqu'ils sont premiers entre eux, leur produit aussi.