Soit \(p\) un nombre premier supérieur ou égal à 5. On s'intéresse au nombre \(p^2-1\)

Question

Montrer que \(p^2-1\) est divisible par 3

Indice

On pourra faire un tableau de congruence

Solution

On exclut du tableau de congruence le cas \(p\equiv 0[3]\) car \(p\) est premier supérieur à 5.

\(p\) modulo 3

\(p^2-1\) modulo 3

1

0

2

0

Donc \(p^2-1\) est bien divisible par 3

Question

Montrer que \(p^2-1\) est divisible par 38

Indice

On pourra remarquer que \(p^2-1=(p-1)(p+1)\)

Indice

Lorsque deux nombres pairs sont consécutifs, l'un des deux est multiple de 4.

Solution

Un des deux nombres \(p-1\) et \(p+1\) est multiple de 4, l'autre est multiple de 2 donc le produit est multiple de 8.

Question

Montrer que \(p^2-1\) est divisible par 24.

Solution

  • 3 et 8 sont premiers entre eux

  • 3 et 8 divisent \(p^2-1\)

donc d'après la conséquence du théorème de Gauss : \(3\times 8\) divise \(p^2-1\)