Résoudre une équation sur les entiers
Dans cet exercice, \(x\) et \(y\) désignent des entiers naturels
Question
Résoudre dans \(\mathbb N\) l'équation \((E) : x^2-y^2 = 7\)
Indice
On pourra utiliser la 3eme égalité remarquable...
Solution
Recherche de solutions éventuelles
Si x et y sont solution de l'équation (E), alors \((x-y)(x+y) = 7\)
Donc \(x-y\) et \(x+y\) sont des diviseurs de \(7\). Mais puisque \(7\) est premier, ces diviseurs valent \(-7, -1, 1\) ou \(7\).
Résolvons donc les 4 systèmes possibles :
\((S_1) : \left \{\begin{array}{rcl}x-y&=&1 \\x+y&=&7\end{array}\right.\)
\((S_2) : \left \{\begin{array}{rcl}x-y&=&7 \\x+y&=&1\end{array}\right.\)
\((S_3) : \left \{\begin{array}{rcl}x-y&=&-1 \\x+y&=&-7\end{array}\right.\)
\((S_4) : \left \{\begin{array}{rcl}x-y&=&-7 \\x+y&=&-1\end{array}\right.\)
en ne conservant que les solutions entiers naturels.
Seuls \(x=4\) et \(y=3\) conviennent.
Réciproquement
Puisque nous avons raisonné par condition nécessaire, il faut vérifier notre solution, ce qui est trivial : \(16-9=7\).