Question
Déterminer les nombres entiers relatifs \(n\) tels que \(n-1\) divise \(n+5\)
Indice
\(n-1\) divise toute combinaison linéaire de \(n-1\) et \(n+5\)
Solution
Méthode :
Pour cette recherche, nous allons procéder en deux temps
recherche d'une condition nécessaire
vérification de la réciproque
Recherche d'une condition nécessaire
\(n-1\) divise toute combinaison linéaire de \(n-1\) et \(n+5\) donc \(n-1\) divise \(6\)
Les diviseurs de 6 sont \({-6, -3, -2, -1, 1, 2, 3, 6 }\)
Ainsi il est nécessaire que \(n \in \{-5 ; -2 ; -1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 \}\)
Réciproquement
Montrons que si \(n-1\) divise \(6\), alors \(n-1\) divise \(n+5\)
\(n-1\) divise \(6\) et \(n-1\), donc \(n-1\) divise \(6+(n-1)=n+5\)
Conclusion
Par conséquent, les seuls entiers \(n\) tels que \(n-1\) divise \(n+5\) sont \(n \in \{-5 ; -2 ; -1 ; 0 ; 2 ; 3 ; 4 ; 7 \}\)