La preuve par 9
Charlie a écrit \(28\times 13 = 341\) mais son grand-père, sans effectuer le calcul, lui affirme que son résultat est faux. Son secret : la preuve par 9 qu'il a apprise à l'école primaire ! Nous allons étudier le principe de cette propriété étonnante des nombres qui s'appuie sur une nouvelle notion : les congruences.
Une propriété étonnante !
Choisissez un nombre, retirez lui la somme de ses chiffres. Le résultat est divisible par 9 !
\(12345 - (1+2+3+4+5) = 12330 = 9\times 1370\)
Question
démontrer cette propriété.
Indice
On pourra essayer d'étudier ce qui se passe sur un exemple (\(n=12345\))
Indice
\(12345 = 1 + 10\times 2 + 100\times 3 + 1000\times 4 + 10000\times 5\)
\(12345 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 = 1 + 10\times 2 - 2 + 100\times 3 - 3 + 1000\times 4 - 4 + 10000\times 5 - 5\)
Indice
\(12345 - 1 - 2 - 3 - 4 - 5 = 9\times 2 + 99\times 3 + 999\times 4 + 9999\times 5\)
Solution
Généralisation du procédé de l'exemple
Soit \(n=a_na_{n-1}\ldots a_1a_0\) l'écriture en base 10 d'un entier naturel.
Si on définit \(A\) comme \(n\) à qui on retranche la somme de ses chiffres, on obtient :
\(A = n-(a_0+a_1.\ldots +a_n) = a_na_{n-1}\ldots a_1a_0 - a_0-a_1.\ldots -a_n = 9a_1 + 99a_2 + \ldots + 9\ldots9 a_n\)
Or \(9\ldots 9 = 9\times 1\ldots 1\)
\(A\) est donc divisible par 9 car chaque terme de la somme est divisible par 9.
Cela prouve le critère de divisibilité par 9
Propriété fondamentale
Un nombre divisé par 9 donne le même reste que la somme de ses chiffres divisé par 9. Cela découle directement de la propriété précédente.
Exemple :
\(12345\) modulo \(9\) donne \(6\)
\(1+2+3+4+5=15\) et \(15\) modulo \(9\) donne \(6\)
Question
Montrer que si une opération (\(+\), \(\times\)) est juste, elle reste juste modulo 9.
Exemples : \(12 + 34 = 46\)
Avec les restes de la division par 9 cela donne :
\(3 + 7 = 10\) or \(10\) et \(46\) sont égaux modulo 9
\(12 \times 34 = 408\)
Avec les restes de la division par 9 cela donne :
\(3 \times 7 = 21\) ce qui est vrai modulo \(9\) puisque \(21 = 2\times 9+3\) et \(408 = 45\times 9 + 3\)
Solution
Pour l'addition
Supposons que pour 3 entiers naturels on ait \(x+y=z\)
Effectuons les divisions euclidienne par 9 :
\(x = 9q_1+r_1\) ; \(y = 9q_2+r_2\)
\(x+y = 9(q_1+q_2)+(r_1+r_2)\) donc le reste de la division de \(x+y\) par 9 est le même que celui de \(r_1+r_2\)
Pour la multiplication
Supposons que pour 3 entiers naturels on ait \(x+y=z\)
Effectuons les divisions euclidienne par 9 :
\(x = 9q_1+r_1\) ; \(y = 9q_2+r_2\)
\(x\times y = 81q_1q_2+9q_1r_2+9q_2r_1+r_1r_2\) donc le reste de la division de \(x\times y\) par 9 est le même que celui de \(r_1\times r_2\)
Question
Expliquer, sans faire le calcul, pourquoi l'opération \(28\times 13 = 341\) est fausse.
Cette technique s'appelle la preuve par 9.
Question
La preuve par 9 est-elle une preuve que le calcul est exact ?
Solution
Non ! La preuve par 9 n'est pas une preuve d'exactitude. C'est par contre une preuve d'erreur si celle-ci est prise en défaut !
Calcul exact ==> Preuve par 9 vérifiée.
La réciproque est fausse. Contre exemple :
\(12\times 9 = 81\) : ce calcul est faux mais la preuve par 9 est vraie. La preuve par 9 s'appuyant sur la somme des chiffres ne permet pas, en particulier, de détecter les inversions de chiffres.
Calcul exact ==> Preuve par 9 vérifiée.
La contraposée est vraie : Preuve par 9 non vérifiée ==> Calcul non exact
Fondamental : Logique : ne pas confondre réciproque et contraposée
propriété : A ==> B
propriété réciproque : B ==> A. La réciproque d'une propriété vraie n'est en général pas vraie.
contraposée : non B ==> non A. La contraposée d'une propriété vraie est toujours vraie.
Conclusion
Nous avons commencé sans le dire à travailler la notion de congruence. La notion de congruence et les propriétés qui en découlent vont considérablement simplifier les écritures et les raisonnements mathématiques.