Compatibilité avec les opérations
Les congruences se révèlent être un outil très indispensable en arithmétique car les propriétés de calculs avec les congruences sont compatibles avec les opérations usuelles. C'est ce qu'on va expliciter dans cette partie.
Mais avant, une première propriété triviale des congruences :
Fondamental : propriétés élémentaires
Soit \(n\in\mathbb N\)
\(\forall a\in\mathbb Z\), \(a\equiv a[n]\)
\(\forall a, b, c\in\mathbb Z\), si \(a\equiv b[n]\) et \(b\equiv c[n]\) alors \(a\equiv c[n]\) (propriété de transitivité.
démonstration
La première propriété est due au fait que \(a-a=0\) est divisible par \(n\).
La seconde est due au fait que si \(n\) divise \(a – b\) et \(b – c\), il divise leur somme \(a – b + b – c\) donc aussi \(a – c\)
Fondamental : Compatibilité avec les opérations.
Soit \(n\) un entier naturel non nul.
Soit \(a, b, a'\) et \(b'\) des nombres relatifs tels que \(a \equiv b[n]\) et \(a' \equiv b'[n]\) alors on a :
\(a + a' \equiv b + b'[n]\)
\(a − a' \equiv b − b'[n]\)
\(a \times a' \equiv b \times b'[n]\)
\(a^p ≡ b^p[n]\) avec \(p \in \mathbb N\).
Démonstration
Nous supposons que \(a-b = qn\) et \(a'-b' = q'n\). Montrons cette formule : \(a \times a' \equiv b \times b'[n]\). La démonstration pour la soustraction ou l'addition est analogue.
\(a\times a' = (b+qn)(b'+q'n) = b\times b' + n(qb'+q'b+nqq')\) ce qui prouve que \(aa'\equiv bb'\)
La dernière formule se prouve simplement par récurrence en utilisant la propriété de compatibilité du produit et le fait que \(a^{k+1}=a\times a^k\)
Remarque :
La formule de la preuve par 9 est tout simplement une conséquence de la compatibilité des opérations avec les congruences.
Exemple :
\(7\equiv 4[3]\) et \(11\equiv 20[3]\) donc \(7\times 11 \equiv 4\times 20[3]\) (\(77\equiv 80 [3]\) est bien sûr vrai).
Dans notre exemple de preuve par 9 précédent :
\(28\times 13 \not= 341\) car \(28\times 13[9] \equiv 1\times 4[9]\equiv 4[9]\) et \(341 \equiv 8[9]\)
Attention : Ne pas confondre égalité et congruences !
Soit \(k \neq 0\) \(ka=kb \Rightarrow a=b\) (simplification par \(k\) non nul)
La simplification est interdite avec les congruences !
\(ka\equiv kb[n]\) n'implique absolument pas \(a\equiv b[n]\)
Contre-exemple : \(12\equiv 9[3]\) mais \(4\not\equiv 3[3]\)