Raisonner avec des congruences
Question
Soit \(a\in\mathbb Z\). Démontrer que si \(a\) n'est pas multiple de \(3\), alors \(a^2\equiv 1[3]\)
Indice
\(a\) n'est pas multiple de \(3\), alors \(a^2\equiv 1[3]\) équivaut à \(a\equiv 1[3]\) ou \(a\equiv 2[3]\)
Solution
Méthode : disjonction des cas
Lorsqu'on a plusieurs valeurs possibles pour une variable, on étudie chacune d'entre elle séparément.
cas a≡1[3]
Dans ce cas, \(a^2\equiv 1[3]\) ce qui est le résultat attendu.
cas a≡2[3]
Dans ce cas, \(a^2\equiv 4\equiv 1[3]\) ce qui est encore le résultat attendu.
On a donc prouvé le résultat demandé en étudiant tous les cas possibles.
Question
Démontrer que \(\forall a,b \in \mathbb Z\), \(ab(a^2-b^2)\) est divisible par 3.
Indice
On pourra utiliser le résultat précédent.
Solution
Si a ou b est divisible par 3
dans ce cas, \(ab\equiv 0[3]\) et donc le produit \(ab(a^2-b^2)\equiv 0[3]\)
Ni a ni b ne sont divisibles par 3
dans ce cas on peut utiliser la question précédente et affirmer que
\(a^2\equiv 1[3]\) et \(b^2\equiv 1[3]\). On en déduit que \(a^2-b^2\equiv 0[3]\) et donc \(ab(a^2-b^2)\) est divisible par 3.