Résoudre une équation avec des congruences
La résolution d'équations avec les congruences ne peut pas se faire à l'aide de la méthode traditionnelle car on a vu que \(ka\equiv kb[n]\) n'implique absolument pas \(a\equiv b[n]\). Nous allons voir quelques exemples :
Question
Résoudre l'équation \(6 + x \equiv 5[3]\)
Indice
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Solution
\(6 + x \equiv 5[3] \Longleftrightarrow 6 + x -6 \equiv 5-6 [3] \Longleftrightarrow x \equiv 2[3]\)
Il y a donc une infinité d'entiers solutions, de la forme \(x = 2+3k\) où \(k\in\mathbb Z\)
Question
Résoudre l'équation \(3x \equiv 5[4]\)
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On pourra raisonner par disjonction des cas
Indice
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Solution
On liste toutes les valeurs possibles de x modulo 4 dans le tableau ci-dessous :
x modulo 4 | 0 | 1 | 2 | 3 |
3x modulo 4 | 0 | 3 | 2 | \(1\equiv 5[4]\) |
On en déduit \(x\equiv 3[4]\) donc les solutions sont tous les entiers de la forme \(3+4k\) avec \(k\in\mathbb Z\)